Теоретический минимум

Divide et impera*​

Метод Фурье - один из универсальных методов решения уравнений в частных производных в том смысле, что им можно решать многие уравнения всех трёх
обычно рассматриваемых типов: гиперболические, параболические и эллиптические. У него есть, конечно, и свои недостатки, о которых будет сказано.

Напомним, что уравнения в частных производных решаются совместно с дополнительными условиями (начальными или краевыми). Метод Фурье в первую
очередь применяется к уравнениям с однородными краевыми условиями, т.е. требуется обращение искомой функции в нуль на границе рассматриваемой области.
Основная идея метода заключается в поиске решения в виде произведения функций, каждая из которых зависит от своей переменной. Мы последовательно
рассмотрим применение метода Фурье к уравнениям с различными дополнительными условиями.

1. Однородное уравнение с однородными краевыми условиями

Рассматривается задача
.
Решение ищем в виде . Подставим этот вид решения в уравнение:
. (1)
Последняя пропорция объясняется тем, что соотносятся функции разных аргументов, а получается одно и то же. В связи с этим отношение должно быть числом.
Минус в выражении ставят для удобства.
Получаем задачу
.
Это задача Штурма-Лиувилля. Решить задачу Штурма-Лиувилля – значит найти все , которым соответствуют нетривиальные решения, называемые
собственными функциями. Числа называются при этом собственными значениями. Легко видеть, что в данном случае при есть только
тривиальные решения. При имеем:

Именно для положительности собственных значений изначально был выделен минус. Подстановка первого краевого условия даёт, что .
Из второго условия получаем
.
Это собственные значения задачи Штурма-Лиувилля, собственные функции
.

Возвращаясь к пропорции (1) решаем ещё одно уравнение:

.
Коэффициенты снабжены индексом, т.к. они будут содержать . Это следует из того, что это уравнение получено из той же пропорции, что и первое уравнение,
т.е. оба уравнения связаны. Итак, мы нашли одно решение, удовлетворяющее краевым условиям.

Общее решение будем искать в виде ряда
.
Для поиска коэффициентов пользуемся начальными условиями. Начинаем с условия .
(2)
При определении коэффициентов разложения учитываем, что система функций ортогональна на отрезке , т.е.
.
В справедливости этого утверждения можно убедиться непосредственным вычислением. Таким образом, для определения неизвестных коэффициентов в разложении (2)
скалярно умножаем обе части равенства (2) на функцию :

.
При этом легко вычислить, что .

Совершенно аналогично находим из второго начального условия:
.
Можно выписать окончательное решение:
.

Упомянем о физическом смысле задачи. Уравнение может описывать, в частности, колебания струны длиной с закреплёнными концами. Начальные условия
представляют собой начальные смещения и скорости точек струны. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля при этом описывают т.н. собственные колебания
струны, при которых на длине струны укладывается целое число полуволн. Соответственно, решение представляется в виде линейной комбинации собственных колебаний
всех возможных в такой ситуации частот - комбинации стоячих волн (отсюда и другое название метода).

2. Неоднородное уравнение с однородными краевыми и начальными условиями

Рассматривается задача
.
Усложнили задачу по сравнению с задачей предыдущего пункта добавлением в уравнение неоднородности. Упростились, правда, начальные условия.

Первым этапом решения является нахождение собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, возникающей при решении соответствующего однородного уравнения.

Из-за неоднородности в уравнении искать решение в виде, предложенном в предыдущем пункте, не получится. Решение ищут в виде

где функции ещё подлежат установлению.
Представим неоднородность уравнения в виде . Умножим скалярно всё исходное уравнение задачи
на функцию (произведение понимается в том же смысле, что и в предыдущем пункте):
.
Для дальнейшего преобразования заметим, что

.
А так как , то
.
Уравнение принимает вид
.
Используя разложение неоднородности уравнения и искомой функции по функциям , с учётом ортогональности последних находим:
.
Это обыкновенное дифференциальное уравнение, которое решается вместе с начальными условиями
.
Эти условия следуют из начальных условий к исходной задаче. Решая данную задачу Коши, находим функции и подставляем их в общий вид решения.

3. Неоднородное уравнение с неоднородными начальными и однородными краевыми условиями

Рассматривается задача
.
Ещё усложнили задачу: теперь к неоднородности уравнения добавляются неоднородные начальные условия.

В этом случае применяется метод редукции, используемый в математической физике не так уж редко. Мы разобьём задачу на две более простые. Представим искомую
функцию в виде суммы . Задача тогда запишется так:
.
Соизмеряя свои желания и возможности, мы осознаём, что мы умеем решать неоднородное уравнение с нулевыми начальными условиями и однородное уравнение
с ненулевыми начальными условиями, поэтому исходную задачу разобьём на две:
и .
Каждую из этих задач мы в состоянии решить. Из них мы найдём функции и , которые в сумме дадут искомую функцию.

4. Неоднородное уравнение с неоднородными начальными и краевыми условиями

Переходим к «самой плохой» задаче – уравнение неоднородное, все дополнительные условия ненулевые.

Применим метод редукции. Вспомогательная функция в этот раз примет на себя краевые условия. Запишем и потребуем, чтобы
.
В силу таких требований зависимость функции от переменной практически определена, а вот зависимость от переменной пока
ничем не ограничена. Чтобы не усложнять себе задачу, выберем эту функцию линейной по переменной , тогда вторая производная .
Выберем функцию
.
Тогда задача для функции получается следующей:
.
Такую задачу мы уже обсудили выше.

Метод Фурье неудобен тем, что решение получается в виде ряда, который скорее всего суммировать не удастся. Сходимость ряда, конечно, гарантирована, но она
может оказаться медленной, т.е. ограничиться небольшим числом слагаемых при использовании решения в конкретных задачах будет нельзя: ошибка окажется
слишком большой.

Есть ещё ограничение в применимости метода - это касается задач не на отрезке, а на луче или прямой и задач на плоскости или в пространстве,
заданных в области сложной формы. Под сложной формой понимается форма границы, например, не совпадающая с координатными линиями какой-либо
системы координат.

Мы не рассматривали применение метода Фурье с использованием криволинейных координат, так как обычно это приводит к появлению в ответе
специальных функций, а это предмет отдельного обсуждения. Если же специальные функции не возникают, то принципиальных отличий от
обсуждавшихся здесь случаев нет.

Замечание.
Метод был продемонстрирован на примере волнового уравнения - уравнения гиперболического типа, но он хорошо работает и для других типов уравнений, скажем, для уравнения
теплопроводности или уравнения Лапласа. Правда, возникающие в процессе разделения переменных дифференциальные уравнения иногда приводят к функциям, не являющимся
элементарными (см., например, здесь).

Примеры

Пример 1. Уравнение теплопроводности (однородные краевые условия)


Ищем решение в виде . Подставляем этот вид решения в уравнение:
.
Получаем задачу Штурма-Лиувилля
.
Собственные значения и функции этой задачи: .
Переходим к уравнению для функции :
.
Общее решение уравнения ищем в виде ряда
.
Учитываем начальное условие:
.
Для определения неизвестных коэффициентов скалярно умножаем обе части на функцию :
.
Вычисляем скалярный квадрат функции и интеграл в правой части последнего равенства:
,
.
Таким образом,
.
Следовательно,
.
Заметим, что в случае чётного индекса суммирования соответствующее слагаемое обратится в нуль, поэтому ответ можно упростить:
.

Пример 2. Уравнение Пуассона (однородные краевые условия)


В случае неоднородного уравнения (см. п.2) решение ищем в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, возникающей при решении
однородного уравнения. В данном случае следует рассмотреть уравнение Лапласа и применить к нему стандартную схему разделения переменных.

Так как есть полная симметрия между обеими переменными, то можно выбрать любую функцию, например, решая задачу

с краевыми условиями .
Собственные функции этой задачи .

Возвращаемся к неоднородному уравнению и ищем его решение в виде
.
Скалярно умножаем уравнение Пуассона на функцию :
.
Замечаем, что
.
Вычисляем скалярное произведение
.
Кроме того, .
Приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению:

с краевыми условиями .
Это уравнение можно решать, например, поиском решения однородного уравнения, а потом частного решения неоднородного уравнения. Опуская детали решения,
приводим ответ:
.
Можно записать окончательный ответ:
.

Замечание. В принципе, можно было решать задачу несколько проще - проводя разложения по функциям . Тогда решение являлось бы двойным рядом.

Пример 3. Неоднородное уравнение теплопроводности (однородные краевые условия)


Применяем метод редукции, записывая : функция примет на себя неоднородность уравнения, а функция -
неоднородность в начальном условии:
; .
Начнём с задачи для функции . Применяем стандартную схему разделения переменных: . Подставляя этот вид решения в уравнение,
приходим к задаче Штурма-Лиувилля для функции :
.
Для функции имеем уравнение
.
Общее решение уравнения ищем в виде ряда
.
Используем начальное условие:
.
Как видно, отличен от нуля только один коэффициент: . Таким образом,
.

Переходим ко второй задаче. Ищем её решение в виде
.
Скалярно умножаем уравнение для функции на :
.
Используем следующие соотношения:
,
,
.
Получаем уравнение

с начальным условием .
Решение этой задачи
.
Следовательно,
.
Учтём, что в этом ряде слагаемые, отвечающие чётным значениям индекса суммирования, обращаются в нуль. Запишем решение всей исходной задачи:
.

Пример 4. Уравнение теплопроводности (неоднородные краевые условия)


Так как краевые условия неоднородные, то применяем метод редукции: , где функция примет на себя неоднородность
из краевых условий. Как говорилось в п. 4 эту функцию можно выбрать в виде
.
Тогда задача для функции имеет вид
.
Получилось неоднородное уравнение с однородными краевыми условиями и неоднородным начальным условием. Снова применяем редукцию:
:
;

Решаем задачу для функции . Ищем решение в виде . Для функции получаем задачу Штурма-Лиувилля
с собственными значениями и функциями . Для функции имеем уравнение
.
Таким образом, функцию ищем в виде
.
Учитываем начальное условие:
.
Находим коэффициенты разложения:
,
.
Таким образом,
.

Наконец, решаем задачу для функции . Ищем решение в виде
.
Скалярно умножаем уравнение для этой функции на :
.
Используем соотношения
,
,
.
Приходим к дифференциальному уравнению

с начальным условием . Его решение
.
Таким образом,
.

Осталось собрать решение исходной задачи, используя результаты двух редукций:
.

-------------------------------------------------------------------------------------------------
* Разделяй и властвуй (лат.)

А что делать, если необходимо решить систему из двух взаимосвязанных уравнений в частных производных второго порядка? Подходит ли метод Фурье для решения таких задач?

disclaimer: это не наезд на вас лично, и вообще не наезд. Мне не хочется затевать никаких личных разборок.


Этот пост лично для меня символизирует все, что мне не нравилось в курсе урчп мифи.

Во-первых, это чисто бездумный вычислительный рецепт. Возьми A, подставь в B, реши C и получишь ответ. Без объяснения того, почему можно так делать, почему таким образом полученное решение является решением итд. В реальных курсах об этом говорят (достаточно мутно говорят, насколько я помню разбираться пришлось не по самарскому-тихонову), но все равно акцент делается именно на бездумное решение задач, каждая из которых по пять листов.

Во-вторых, это бессмысленный вычислительный рецепт. Решить уравнение теплопроводности численно эквивалентно решению (sparse) системы линейных уравнений. Любой матпакет это умеет и в реальности только так такие примеры и решают. Решение имеет хорошо известные свойства, итд итп. В то же время полученный ряд достаточно бесполезен. Что вы будете делать с ним? Вам нужно будет понять сколько членов этого ряда брать, в разных точках это число может быть разным. Если у решения есть разрывы, то это проблема, и так далее. Ну и это не говоря уже о том, что как правило члены этого ряда - это какие-то спецфункции, которые даже посчитать может быть проблематично. И самое смешное, что после того, как вы всю эту работу проделали, вычислительно посчитать ответ может быть сильно сложнее, чем решить систему уравнений. Можно возразить, что точные решения в виде ряда нужны для того, чтобы исследовать поведение решения в зависимости от параметров задачи. Ну так тогда и надо давать такие задачи (хотя я думаю там все быстро упрется в большие сложности и опять окажется, что толку от точного "решения" довольно мало). Вместо этого студентов заставляют решать большой объем искусственных задач, что очень трудоемко и малополезно для понимания. Ну и это не говоря уж о том, что для мало-мальски нетривиальной геометрии области где решается та же задача теплопроводности, точного решения в виде ряда как правило получить нельзя. Вот что было полезно, так это "физическая" интуиция, т.е. вещи типа "решение уравнения лапласа не может иметь локальный экстремум во втутренней точке", такого нужно больше. Например, насколько я помню про принцип Гюйгенса нам либо не рассказывали вообще на урматах, либо рассказывали "на пальцах".