Динамическая система в теории автоматического управления может быть задана в виде системы дифференциальных уравнений:
,

,



Здесь - переменные пространства состояний, - их значения в начальный момент времени, - входы системы. Здесь все переменные зависят от времени.
Выходы системы обозначены буквами - просто функции от переменных состояния, поэтому они задаются в виде алгебраических, не дифференциальных уравнений.
Это наиболее общий случай. Теперь будем упрощать задачу, и рассматривать всё более частные случаи.
Упрощение 1. Система линейная и стационарная
То есть система уравнений превращается в систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами
,

,



Такая запись называется записью в форме Коши.
Упрощение 2. Нулевые начальные условия
На данном этапе принимается, что начальные условия всех переменных состояния равны нулю, то есть
. Так что дальше запись начальных условий опускаем.
Кстати, на сейчас можно перейти к более краткой матричной записи уравнений:


Здесь , , - вектора переменных состояния и их производных и вектор входных величин. - матрицы, состоящие из констант. Их размеры для краткости опускаются. Еще раз напомню: - количество переменных состояния, - количество входов, - количество выходов.
Решив систему уравнений, можно найти зависимость любого выхода от любого входа в любой момент времени.
Переход к преобразованиям Лапласа
Дальше удобнее будет записать ту же самую систему, но в операторной форме. То есть оператор дифференцирования заменится буквой , которая будет обозначать дифференцирование.
Так как в левой части первого уравнения стоит вектор , его придется преобразовать к виду , где - единичная матрица того же размера, что вектор . Это может показаться сложным, но нужно вспомнить, как умножается матрица на вектор.
Нужно заметить, что теперь все переменные зависят не от времени, а от переменной .
Таким образом, получаем:


Теперь в первом уравнении можно выразить вектор состояния:

и далее подставить во второе уравнение:
, а затем вынести за скобку:

Факт в том, что удалось получить зависимость всех выходов от всех входов, правда, пока в терминах преобразования Лапласа.
Можно обозначить , тогда , и матрицу логично назвать передаточной матрицей системы.
Кстати, эта матрица состоит из скалярных функций

Здесь - передаточная функция от i'го входа к j'ому выходу, то есть
, или
Таким образом, пришли к определению.
Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.
В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Зная передаточную функцию системы можно определить некоторые дополнительные параметры:

• АЧХ или ЛАЧХ - (логарифмическая) амплитудно-частотная характеристика
• ФЧХ или ЛФЧХ - (логарифмическая) фазо-частотная характеристика
• Годограф - зависимость между действительной и мнимой частями передаточной функции
• Переходная характеристика - зависимость сигнала на выходе от времени при подаче на вход системы единичной ступени
• Импульсная характеристика - зависимость сигнала на выходе от времени при подаче на вход системы дельта-функции

Замечание 1. Иногда АЧХ и ФЧХ называют объединяют в одну аббревиатуру - АФЧХ.
Но обычно удобнее использовать логарифмические характеристики. Преимуществ у них два:

• Графики АЧХ близки к кусочно-линейным
• Если передаточная функция получена перемножением двух других, логарифм переведет произведение в сумму, а последнюю легче изобразить на графике: . Логарифм используют десятичный. Умножение на постоянный коэффициент просто сместит амплитудную характеристику вверх или вниз на

Замечание 2. Чтобы получить зависимость передаточной функции от частоты , нужно перейти от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье (действительная часть оператора обращается в ноль, т.е. происходит замена ). Здесь обозначает мнимую единицу.
Тогда передаточную функцию можно представить в виде двух действительных функций частоты: . Функция параметрически зависит от функции . График такой зависимости при изменении частоты в пределах называется годографом.
Иногда годограф рисуют только для частот в пределах , дальше годографы будут рисоваться именно в этих пределах.

Замечание 3. Так как вычисления выходного сигнала будут производиться в терминах преобразования Лапласа, нужно сначала вспомнить преобразования Лапласа для входных сигналов: ступеньки и дельта-функции.


Чтобы получить изображение выходного сигнала, нужно, из определения передаточной функции, умножить изображение входного сигнала на передаточную функцию: . После чего привести получившуюся функцию к виду табличных, и восстановить оригинал (то есть выполнить обратное преобразование Лапласа).
Иногда восстанавливать оригинал легче, если вспомнить, что - оператор дифференцирования. Например, если , то .
Кстати, из этого следует, что если известна переходная характеристика , то импульсную можно получить просто дифференцированием: , ведь изображение входных сигналов отличаются как раз множителем .