1. Уважаемые друзья!

    С 8 февраля 2018 года наш форум переходит в режим Элитарного Клуба.
    Теперь незарегистрированным посетителям запрещено подглядывать и подслушивать наши тайные переговоры, а чтобы зарегистрироваться, нужно... впрочем, если вы действительно достойны стать членом Клуба, то вы наверняка разберётесь, как это сделать.

    Возрадуйтесь, обладатели зарегистрированных аккаунтов! Обещаем вам чистки, репрессии и все остальные бонусы тоталитарного сообщества.

    Всегда ваша,
    Администрация Корума

МА. Сравнение функций. О-символика

Тема в разделе "Вопросы высшей математики", создана пользователем Schufter, 21 авг 2013.

Модераторы: onyx
  1. Schufter

    Schufter Мизантроп

    Теоретический минимум

    На своей области определения различные функции ведут себя по-разному, однако если выделить определённую точку области определения некоторой
    функции [​IMG], то можно подобрать другие функции, которые в окрестности этой точки ведут себя так же, как функция [​IMG]. Наглядно это
    демонстрируется с помощью графиков функций. Ведущие себя одинаково в окрестности некоторой точки функции имеют графики, практически совпадающие
    в этой окрестности. На рис. 1 изображены графики функций [​IMG] и [​IMG]. Как видно, графики этих функций существенно
    отличаются всюду, кроме окрестности точки [​IMG].
    [​IMG]

    Сравнивать функции можно и по-другому. Например, функции [​IMG] и [​IMG] обе стремятся к нулю при [​IMG]. Однако функция [​IMG]
    стремится к нулю медленнее. Это видно, например, из рис. 2. Кроме того обе функции в окрестности точки [​IMG] бесконечно малы, но «по-разному».
    Чтобы придать этому неточному выражению строгость, вводится следующее определение. Если функции [​IMG] бесконечно малы при [​IMG]
    и [​IMG], то функция [​IMG] называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с [​IMG] при [​IMG]. Записывается это следующим
    образом: [​IMG] при [​IMG].
    Указание, что аргумент стремится к определённому значению обычно пишется под знаком равенства. В TeX такую запись сделать проблематично - по крайней
    мере я не знаю, как - поэтому это указание приводится здесь всюду словесно. Без него сама запись теряет смысл.


    В рассмотренном только что примере [​IMG] при [​IMG].
    Пока что мы это просто утверждаем без доказательства, основываясь на приведённом графике.

    Существуют некоторые важные свойства операции сравнения (рекомендуется пробовать иллюстрировать их графически – тогда они становятся понятнее).
    Свойств на первый взгляд много, но все они по своей сути простые.
    1. Постоянный множитель не влияет на соотношение функций. Т.е. если [​IMG] при [​IMG], то [​IMG] и [​IMG]
    при [​IMG], где [​IMG]. В этом легко убедиться по определению операции сравнения функций. Коротко эти два свойства записывают так:
    [​IMG].
    2. Если [​IMG] и [​IMG] при [​IMG], то и [​IMG] при [​IMG]. Фактически это следствие утверждения
    о том, что предел суммы функций равен сумме их пределов (при условии существования всех фигурирующих пределов).
    [​IMG]
    3. Если [​IMG] и [​IMG] при [​IMG], то [​IMG] при [​IMG]. Действительно,
    [​IMG]
    Таким образом,
    [​IMG].
    4. Пусть [​IMG] при [​IMG], тогда [​IMG] при [​IMG]. Иными словами, если функция [​IMG] сама является малой
    высшего порядка по отношению к [​IMG], то она не влияет на соотношение малости между функцией [​IMG] и другой функцией:
    [​IMG].
    5. Это свойство сформулируем в компактной форме сразу:
    [​IMG].
    Докажем это важное утверждение. Введём функцию [​IMG] при [​IMG].
    [​IMG]
    6. Ещё одно свойство сразу формулируем в компактной форме:
    [​IMG].
    Введём функцию [​IMG] при [​IMG].
    [​IMG]

    Руководствуясь этими свойствами, можно проводить разнообразные вычисления. Удобно сравнивать функции со степенной функцией.

    Но вернёмся к первому примеру. Если [​IMG], то говорят, что [​IMG] – величина порядка [​IMG] при [​IMG].
    Обозначается это так: [​IMG] при [​IMG].
    Если [​IMG] и [​IMG] при [​IMG], то [​IMG] и [​IMG] имеют одинаковый порядок в окрестности точки [​IMG]. Достаточным
    условием того, что функции одного порядка, является существование предела
    [​IMG]
    причём в окрестности точки [​IMG] функции [​IMG] и [​IMG] в нуль не обращаются. Если этот предел равен единице, то функции называются эквивалентными
    в окрестности данной точки. Обозначение: [​IMG] при [​IMG].

    Критерием эквивалентности функций [​IMG] и [​IMG] является утверждение о том, что разность между ними является бесконечно малой более высокого порядка
    по сравнению с каждой из данных функций.
    [​IMG] (все соотношения при [​IMG])
    Часто удобно придавать этим соотношениям другой вид:
    [​IMG] при [​IMG].

    Если функция [​IMG] бесконечно мала при [​IMG], то можно подобрать для неё эквивалентную функцию полиномиального типа, т.е. вида [​IMG],
    отражающую поведение функции [​IMG] в окрестности точки [​IMG]. Это называется выделением главной части. В случае стремления функции к бесконечности
    при [​IMG] можно выделить главную часть вида [​IMG]. Правда, здесь ещё возможно стремление к бесконечности по логарифмическому закону.
    Можно дать обобщение: если [​IMG] при [​IMG], то функция [​IMG] называется главной частью [​IMG] при [​IMG]. Т.е. вовсе не обязательно
    выделять главную часть именно полиномиального типа, просто обычно это наиболее удобный вариант.

    Нужно помнить следующие простые соотношения эквивалентности (все при [​IMG]):
    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    Не всегда требуется использовать эти формулы именно в таком виде. Т.е. в некоторых вычислениях достаточно заменить синус его аргументом, а в других –
    и разложения до третьей степени может не хватить. В любом случае необходимо помнить: если хотя бы одна функция заменяется эквивалентной полиномиальной функцией
    степени [​IMG], то и все остальные фигурирующие функции должны заменяться эквивалентными полиномиальными функциями той же степени. Если это оказывается
    невозможным по причине отсутствия в разложении функции (функций) требуемой степени, то следует проводить более тщательный анализ.

    Рассмотрим несколько примеров. Они разобраны максимально подробно. При появлении навыка подобных расчётов исчезает необходимость записывать их с такой
    степенью подробности. Более того, основные правила расчёта должны стать интуитивно понятными и применяться почти автоматически. Нужно понимать, что на практике
    часто требуется определить именно поведение функции в окрестности той или иной точки, а это и есть выделение её главной части. Во всех примерах задание одно
    и то же: выделить главную часть функции в окрестности заданной точки в виде степенной функции. Каждый ответ будет иллюстрирован двумя графиками. Чёрная
    кривая - график заданной в условии функции, красная кривая - график найденной главной части.

    Замечание. Приведённые формулы эквивалентности для некоторых элементарных функций являются частным случаем формулы Тейлора. Общий способ получения подобных
    соотношений с любой наперёд заданной точностью основан именно на использовании формулы Тейлора.


    Примеры.

    Пример 1.
    [​IMG]

    Используем разложение косинуса:
    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    Ответ. [​IMG].

    Пример 2.
    [​IMG]

    Используем разложение синуса:
    [​IMG]
    Теперь нужно возвести это выражение в квадрат.
    [​IMG]
    Рассмотрим второе слагаемое. Согласно приведённым выше свойствам
    [​IMG]
    В третьем слагаемом
    [​IMG]
    Следовательно,
    [​IMG]
    [​IMG]
    Ответ. [​IMG].

    Пример 3.
    [​IMG]

    Используем разложение косинуса и логарифма:
    [​IMG]
    Подробно запишем последнее слагаемое:
    [​IMG].
    Следовательно,
    [​IMG].
    [​IMG]
    Ответ. [​IMG].

    Пример 4.
    [​IMG]

    Здесь сразу табличными разложениями не воспользоваться, но можно применить следующий формальный приём:
    [​IMG]
    где [​IMG]. И если [​IMG], то [​IMG], следовательно, можно применить табличное разложение для косинуса, а потом вернуться к прежней переменной:
    [​IMG]
    Обратимся к заданной в условии функции:
    [​IMG]
    [​IMG]
    С последним слагаемым поступаем так же, как в предыдущем примере.
    [​IMG].
    [​IMG]
    Ответ. [​IMG].

    Пример 5.
    [​IMG]

    И в этом примере сразу табличными разложениями не воспользоваться. В данном случае так же, как в предыдущем примере, помогает формальное преобразование:
    [​IMG].
    Заменяем [​IMG] и получаем возможность проводить разложения при [​IMG]:
    [​IMG]
    Так как выделяется главная часть функции, то при [​IMG] при наличии слагаемого [​IMG] слагаемое [​IMG] можно не рассматривать: оно принимает значения, много меньшие,
    чем [​IMG], а потому не определяет поведение исходной функции в окрестности точки [​IMG]. Если подходить формально, то можно сказать, что [​IMG] и включить
    это слагаемое в [​IMG]. Далее, учтём, что [​IMG]. Опять-таки из двух слагаемых [​IMG] следует оставить одно – первое, так как оно включает в себя
    и второе. Действительно, если [​IMG] и [​IMG], то [​IMG]. Таким образом,
    [​IMG].
    В принципе говоря, можно было догадаться, что в выражении [​IMG] слагаемым [​IMG] в первой скобке по сравнению с единицей можно пренебречь
    при [​IMG]. Ответ, разумеется, получился бы такой же. Обычно именно так и делают. Мы провели вычисления столь подробно, чтобы читатель ещё раз мог
    уяснить суть сравнения функций.

    Возвращаемся к прежней переменной:
    [​IMG].
    [​IMG]
    Ответ. [​IMG].

    Пример 6.
    [​IMG]

    Применяем тот же приём, что и в предыдущем примере, вводя замену [​IMG]:
    [​IMG].
    Проводим разложение, пользуясь формулой [​IMG] при [​IMG]:
    [​IMG]
    Используем тот факт, что [​IMG], раскрываем скобки:
    [​IMG].
    Пользуемся свойствами операции сравнения:
    [​IMG].
    Это выражение подставляем в аргумент синуса:
    [​IMG].
    Возвращаемся к прежней переменной:
    [​IMG].
    [​IMG]
    Ответ. [​IMG].

    Пример 7.
    [​IMG]

    Используем разложения косинуса и экспоненты:
    [​IMG]
    Учитываем, что [​IMG], малую величину [​IMG] не удерживаем на фоне [​IMG]:
    [​IMG].
    Второе слагаемое в знаменателе второй дроби стремится к нулю при [​IMG], а потому можно применить формулу [​IMG].
    [​IMG]
    [​IMG].
    [​IMG]
    Ответ. [​IMG].

    Пример 8.
    [​IMG]

    В случае степенной функции с переменным показателем применяется следующий приём: вся зависимость от переменной переносится в показатель
    [​IMG].
    Используем разложения для косинуса, логарифма, тангенса и экспоненты:
    [​IMG]
    [​IMG]
    Заметим, что мы использовали не фигурировавшее ранее разложение тангенса. Его несложно вывести (это полезное упражнение, исходя из определения тангенса
    и известных разложений синуса и косинуса). Важно то, что в этом разложении после первой степени аргумента идёт третья степень (об это можно догадаться,
    принимая во внимание нечётность тангенса), а разложение косинуса и логарифма проводится только до квадратичных слагаемых. Поэтому не имеет смысла
    удерживать в разложении тангенса кубическое слагаемое.
    [​IMG].
    [​IMG]
    Ответ. [​IMG].

    Пример 9.
    [​IMG]

    Перепишем функцию в виде
    [​IMG].
    Рассмотрим отдельно выражение в скобках. Сделаем замену [​IMG], тогда при [​IMG] имеем [​IMG], и применима стандартная формула.
    [​IMG]
    [​IMG].
    Так как [​IMG],то
    [​IMG].
    Возвращаемся к прежней переменной:
    [​IMG].
    [​IMG]
    Ответ. [​IMG].
Модераторы: onyx

Поделиться этой страницей