Теоретический минимум

Тема рядов Фурье является очень важной. Она находит применение в физических приложениях. Она имеет большое значение и в математических
вопросах. В физике часто используются тригонометрические ряды Фурье, но лежащая в их основе идея глубже, поэтому имеет смысл не ограничиваться
тригонометрическими рядами. Чтобы продемонстрировать эту общую идею, необходимы некоторые предварительные сведения.

Функциональные пространства

Как известно, теоремы в математическом анализе обычно формулируются для достаточно широких классов функций, иначе это были бы
специфические частные случаи (которые, впрочем, тоже встречаются). Например, часто встречается условие непрерывной дифференцируемости
функции, т.е. непрерывности как функции, так и её первой производной на некотором промежутке, скажем, отрезке . Обычно о
таких функциях говорят, что они принадлежат классу . Этот класс по-другому можно назвать множеством функций или функциональным
пространством. Существуют самые разнообразные функциональные пространства, принадлежность функций к которым определяется такими
требованиями как непрерывность, непрерывная дифференцируемость, интегрируемость и т.д. Удобно говорить не об отдельных функциях, а об
их множествах не потому, что это сильно увеличивает общность. Дело в том, что часто бывает важно анализировать не только свойства элементов
функциональных пространств, но различных отображений, определённых на этих пространствах. Такие отображения обычно называют операторами.
Операторы изучаются в курсе функционального анализа, очень абстрактном разделе математики, имеющем очень важные приложения. Например,
именно с помощью теории операторов доказываются многие практически важные теоремы из теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Мы не станем здесь вдаваться в классификацию функциональных пространств, ограничиваясь нормированными пространствами. Так называется
линейное пространство , каждому элементу которого ставится в соответствие вещественное число - норма элемента, удовлетворяющее
трём свойствам:
1. , причём ;
2. ;
3. .
Например, в пространстве вещественных чисел в качестве нормы вполне подойдёт модуль числа.

Пространства со скалярным произведением

Следующий шаг - ввести для элементов функционального пространства скалярное произведение. Иными словами, каждым двум элементам
и пространства нужно поставить в соответствие вещественное число , удовлетворяющее следующим свойствам:
1. , причём ;
2. симметричность ;
3. линейность (по обоим аргументам): .
Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым.
Здесь напрашивается прямая аналогия со скалярным произведением векторов, образующих, кстати говоря, линейное пространство.
В продолжение этой аналогии говорят, что два элемента и евклидова пространства ортогональны, если .

Приведём пример скалярного произведения в пространстве кусочно-непрерывных на отрезке функций:
.

Евклидово пространство можно сделать нормированным, полагая
.
Показать выполнение свойств нормы, указанных в её определении, несложно. Снова проведём аналогию с векторами. Нормой в пространстве векторов
может являться их модуль. Но модуль вектора равен корню из скалярного квадрата вектора.

Базис в функциональных пространствах

При работе с линейными пространствами обычно в них выбирают базис, и тогда каждый элемент пространства однозначно определяется своими
координатами в этом базисе. Элемент векторного пространства представляется в виде разложения по базису, а координатами являются коэффициенты
этого разложения. Понятие базиса естественным образом возникает и в функциональных пространствах. Система называется базисом
в евклидовом пространстве , если
.
Заметим, что суммирование в общем случае ведётся до бесконечности, т.е. мы имеем дело с бесконечномерными пространствами.

Приведём два примера базисных систем.
1. Тригонометрическая система:
.
Эта система ортонормирована на отрезке , т.е. все элементы системы попарно ортогональны, а их норма равна единице.
Покажем ортогональность системы:

.
Аналогично проделываются ещё два расчёта.

Другие две тригонометрические системы являются ортогональными, но не ортонормированными на отрезке :
.
2. Полиномы Лежандра.
Ортогональной системой на отрезке является система полиномов Лежандра:
.
.

Ряды Фурье

Вот теперь переходим, собственно, к рядам Фурье. Рядом Фурье элемента евклидова пространства называется его разложение по системе
ортонормированных функций :
.
Знак равенства здесь не ставится, так как ничего не сказано о сходимости ряда.

Говоря в терминах функциональных пространств, предположим, что имеется система ортонормированных в смысле введённой в данном пространстве
нормы функций . Функция , принадлежащая данному пространству, может быть разложена по функциям :
.
Поиск коэффициентов разложения основан на ортогональности любых двух функций набора . Скалярно умножая обе части последнего
равенства на функцию , получим:

.
Таким образом,
.
Если система функций не только ортогональная, но и ортонормированная, то знаменатель обращается в единицу.

Тригонометрические ряды Фурье

Применим соображения предыдущего пункта к тригонометрической системе на отрезке . Кусочно-непрерывная на этом отрезке
функция представляется в виде ряда Фурье
,
где коэффициенты разложения (т.н. коэффициенты Фурье)
.

Отметим, что мы представляем функцию в виде ряда Фурье только на данном отрезке. Если функция нечётная, то в разложении останутся только синусы,
если функция чётная - только косинусы. Для отрезка это достаточно очевидно. Однако выше был приведён пример тригонометрических
систем на отрезке . В данном случае о чётности или нечётности говорить не приходится, так как определение чётности функции связано
с симметрией относительно нуля. К каким последствиям это приводит, увидим в примерах ниже.

Наконец, отметим связь разложения функций в тригонометрические ряды Фурье со спектральным анализом. Это также найдёт отражение в примерах.

Примеры разложения в ряды Фурье

Пример 1. Разложение периодической функции в тригонометрический ряд Фурье.
Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию .

Обратите внимание: отрезок, на котором следует проводить разложение не указан. Это связано с периодичностью функции. Это вообще тот случай,
когда не нужно вычислять никаких коэффициентов. Разложение в тригонометрический ряд Фурье – представление функции в виде суммы (конечной или
бесконечной) тригонометрических функций от аргументов разной кратности. Вот это и сделаем. Напомним, как получается выражение для степеней синуса.
Используем формулу Муавра:
,
отделяем мнимую часть:
.
Это и есть разложение в ряд Фурье. Обратим внимание на две детали: оно верно на любом промежутке; будучи разложением нечётной функции,
оно содержит только синусы. Дадим графическую интерпретацию этого разложения.

При сложении двух функций, графики которых изображены пунктиром, получается исходная функция. В исходной функции выделить определённую
частоту было невозможно. При разложении обнаружилось, что в ней присутствуют две частоты.

Пример 2. Разложение нечётной непериодической функции в ряд Фурье.
Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию в интервале .

В данном случае нужно просто вычислять коэффициенты Фурье. Так как функция нечётная, то разложение будет содержать только синусы,
соответственно, все коэффициенты .
.
Видно, что в случае чётных значений коэффициент разложения обращается в нуль. Поэтому при записи ряда можно полагать :
.
Интересно посмотреть на то, как частичные суммы ряда Фурье приближают раскладываемую функцию. Для этого изобразим на одном графике саму функцию
и частичные суммы, отвечающие одному, двум, трём и десяти слагаемым, оставленным от всего ряда Фурье. Видно, что чем больше мы оставляем слагаемых,
тем больше результат приближается к раскладываемой функции. Вместе с тем эта идиллия, сохраняясь на отрезке , нарушается за его
пределами - это видно из графика справа. Ничего удивительного в этом нет: разложение в ряд Фурье справедливо именно на отрезке .



Пример 3. Разложение чётной непериодической функции в ряд Фурье.
Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию в интервале .

И снова проводим непосредственное вычисление коэффициентов Фурье. Только на этот раз в разложении останутся косинусы, так как раскладывается чётная
функция.

В случае чётных значений коэффициент разложения обращается в нуль. Поэтому при записи ряда можно полагать .

Таким образом,
.
Снова изобразим в одних координатах график раскладываемой функции и частичных сумм ряда Фурье, отвечающих одному, двум и трём слагаемым,
оставленным в ряде Фурье. Опять-таки разложение верно только на отрезке .



Пример 4. Разложение непериодической функции в ряд Фурье (общий случай).
Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию в интервале .

В данном случае требуется скорректировать вид ортонормированной системы, по которой будет проводиться разложение, так как в условии задан отрезок,
отличный от :
.
Тогда тригонометрический ряд Фурье примет вид
,
где коэффициенты разложения (т.н. коэффициенты Фурье)
.

В остальном процесс разложения ничем не отличается от предыдущих примеров, кроме того что на этот раз ряд будет содержать как синусы, так и косинусы.
Интегралы для коэффициентов Фурье вычисляются либо дважды по частям, либо с переходом от синусов и косинусов к комплексным экспонентам с последующим
вычислением мнимой или вещественной части:

.
В результате приходим к следующему разложению в ряд Фурье:
.
А так как , то окончательно имеем
.
На приведённом ниже рисунке снова показана раскладываемая функция и графики частичных сумм ряда Фурье, соответствующие одному, двум, трём и
четырём оставленным слагаемым. Видно, как с увеличением числа оставленных слагаемых график частичной суммы начинает "виться" вокруг графика
экспоненты, постепенно приближаясь к нему.



Пример 5. Разложение функции в ряд Фурье с доопределением функции.
Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию в интервале по синусам.

Разложение проводится на интервале , на котором система синусов и система косинусов сами по себе являются ортогональными.
Разложение по косинусам в данном случае тривиально. Разложение по синусам требует некоторого комментария. Как можно увидеть из предыдущих
примеров, по синусам раскладываются нечётные функции. Косинус явно не является нечётной функцией. Однако мы можем доопределить его нечётным образом,
считая, что на интервале функция равна . Тогда остаётся только вычислить коэффициенты Фурье:
.
Отличны от нуля только слагаемые с чётным индексом, поэтому получаем разложение
.

Снова посмотрим на то, как приближают частичные суммы ряда Фурье исходную функцию, на примере одного, двух, трёх и четырёх оставленных
слагаемых ряда Фурье. Видно, что на интервале с ростом номера частичной суммы график становится всё ближе к графику косинуса.
Однако если посмотреть на интервал , то становится видно, как на интервале формируется нечётным образом
продолженный косинус - что и закладывалось в построение ряда Фурье по предположению.



Заметим, что аналогичное задание для всего интервала не имело бы смысла, так как нельзя представить чётную функцию в виде
линейной комбинации нечётных.

Замечание. Функцию, заданную на любом не симметричном относительно начала координат отрезке, можно разложить в ряд Фурье, доопределяя её аналогично тому, как это
сделано в примере 5 (способы этого доопределения могут быть весьма разнообразны, но все они в конечном счёте служат одной цели - сделать применимыми формулы разложения
функции в тригонометрический ряд Фурье).