1. Уважаемые друзья!

    С 8 февраля 2018 года наш форум переходит в режим Элитарного Клуба.
    Теперь незарегистрированным посетителям запрещено подглядывать и подслушивать наши тайные переговоры, а чтобы зарегистрироваться, нужно... впрочем, если вы действительно достойны стать членом Клуба, то вы наверняка разберётесь, как это сделать.

    Возрадуйтесь, обладатели зарегистрированных аккаунтов! Обещаем вам чистки, репрессии и все остальные бонусы тоталитарного сообщества.

    Всегда ваша,
    Администрация Корума

МА. Криволинейные интегралы второго рода

Тема в разделе "Вопросы высшей математики", создана пользователем Schufter, 10 авг 2013.

Модераторы: onyx
  1. Schufter

    Schufter Мизантроп

    Теоретический минимум

    Эта тема продолжает обсуждение криволинейных и поверхностных интегралов, начатое в теме "МА. Криволинейные интегралы первого рода и поверхностные интегралы первого рода". Рекомендуется предварительно ознакомиться с той темой. Ввиду большей сложности темы криволинейные и поверхностные
    интегралы второго рода рассматриваются отдельно. Здесь обсуждаются криволинейные интегралы второго рода. В отличие от интегралов первого рода интегралы
    второго рода более естественно вводятся в физике, поэтому начнём именно с физических приложений, а потом сформулируем методы вычисления.

    1. Физические приложения криволинейного интеграла второго рода

    Начнём с вопроса о работе силы [​IMG] при перемещении материальной точки вдоль некоторой траектории. В самом простом случае, когда точка перемещается
    вдоль прямой, а сила направлена в сторону движения точки, работа равна модулю силы, умноженному на величину перемещения [​IMG]. Если вектор [​IMG]
    составляет с направлением движения точки угол [​IMG], но сама сила постоянна, то [​IMG], т.е. работа равна произведению тангенциальной
    составляющей силы на величину перемещения. То же самое можно записать в виде скалярного произведения (см. рис. 1)
    [​IMG].
    [​IMG]
    Теперь предположим, что движение происходит не по прямой, а по криволинейной траектории, а сила зависит от положения материальной точки [​IMG].
    Чтобы сохранить предыдущие рассуждения, следует разбить траекторию на малые части, причём каждую часть можно считать прямолинейной, а силу в пределах
    это части - постоянной, тогда на частичной дуге траектории работа силы равна [​IMG] (см. рис. 2). Точка [​IMG] может быть
    выбрана любая в пределах данной частичной дуги (в силу малости дуги сила не зависит от выбора этой точки). Чтобы получить работу силы на всей траектории,
    нужно суммировать работы на всех частичных дугах:
    [​IMG].
    Чтобы равенство стало точным, следует перейти к пределу разбиения траектории на бесконечно малые части. Предел является криволинейным интегралом второго
    рода:
    [​IMG].

    2. Определение криволинейного интеграла второго рода

    Переходим к формальному построению криволинейного интеграла. Рассмотрим векторную функцию [​IMG], все компоненты которой
    в общем случае являются функциями точки. Функция предполагается определённой на спрямляемой кривой [​IMG] (в теме о криволинейном интеграле первого
    рода есть напоминание, что означает спрямляемость кривой). На кривой выбрано некоторое направление - в этом есть важное отличие от интеграла первого
    рода. Кривая разбивается на частичные дуги длиной [​IMG], на каждой частичной дуге выбирается точка [​IMG]. Составляется сумма
    [​IMG],
    где [​IMG] - проекция частичной дуги на ось абсцисс, причём так как на кривой задано направление, то эта проекция может быть как положительной,
    так и отрицательной. Аналогично определяются величины [​IMG] и [​IMG] как проекции частичной дуги на оси ординат и аппликат.
    Затем составляется сумма по всем частичным дугам
    [​IMG]
    и выполняется предельный переход с устремлением длины наибольшей частичной дуги к нулю. Предел является криволинейным интегралом второго рода:
    [​IMG].
    Легко указать связь построенного таким образом интеграла с интегралом, построенным в первом пункте. Дело в том, что [​IMG], где
    [​IMG] - длина малой дуги кривой [​IMG], а [​IMG] - угол, который составляет данная малая дуга (форму которой приближённо можно считать прямолинейной)
    с осью абсцисс. Аналогично [​IMG], где [​IMG], [​IMG] - углы, которые малая дуга образует с осями ординат и аппликат.
    Таким образом,
    [​IMG].
    Вводя вектор [​IMG] касательной к кривой, запишем [​IMG], и интеграл примет вид, в котором
    он был получен в первом пункте.

    Следует заметить, что изменение направления интегрирования приведёт к тому, что все проекции частичных дуг изменят знак на противоположный, а значит,
    [​IMG].

    Если интегрирование проводится по замкнутому контуру, то такой интеграл обычно называют циркуляцией и обозначают знаком [​IMG].

    3. Вычисление криволинейного интеграла второго рода

    Методика вычисления криволинейного интеграла второго рода предельно проста. Следует параметрически задать кривую, по которой проводится интегрирование,
    [​IMG],
    тогда эти соотношения позволят определить связь дифференциалов [​IMG] с соответствующим изменением параметра [​IMG]:
    [​IMG].
    На практике эта громоздкая формула применяется достаточно просто: следует только вместо переменных всюду подставить их выражения через
    параметр и правильно определить пределы интегрирования, не перепутав их порядок (от этого зависит знак интеграла!).

    В случае криволинейного интеграла второго рода ставится ещё один вопрос: пределы интегрирования в интеграле всегда определены - интеграл вычисляется вдоль
    заданной кривой от некоторой точки [​IMG] до некоторой точки [​IMG]. Однако может ли быть такое, что интеграл зависит только от точек [​IMG] и [​IMG], но не от кривой,
    их соединяющей? Здесь можно указать физический пример: работа силы тяжести зависит только от того, в какой точке находилось тело в поле тяжести
    и в какую точку оно перемещено, но не от пути, по которому произошло перемещение. Существует критерий независимости величины криволинейного
    интеграла второго рода от формы пути. Интеграл
    [​IMG]
    не зависит от формы пути, если выполняются три соотношения:
    [​IMG]
    Есть и другая эквивалентная формулировка: подынтегральное выражение должно быть полным дифференциалом некоторой функции:
    [​IMG].
    Отметим, что указанные условия требуют некоторых уточнений в случае, когда контур интегрирования располагается в многосвязной области (т.е. если в
    рассматриваемой области есть "дыры").

    4. Формула Грина

    С криволинейным интегралом второго рода связана важная формулы, имеющая теоретические и практические приложения.
    Формула Грина:
    [​IMG],
    где контур [​IMG] ограничивает область [​IMG]. Обход контура должен быть таким, чтобы область [​IMG] оставалась слева.

    С помощью формулы Грина можно вычислять площади фигур. Легко показать, что
    [​IMG].

    Замечание. В векторном анализе условие независимости интеграла от формы пути формулируется несколько проще: требуется равенство нулю ротора векторного поля, которое
    интегрируется. В таком виде это условие легче запомнить.


    Примеры вычисления криволинейных интегралов второго рода

    Пример 1. Интеграл вдоль ломаной с параллельными координатным осям звеньями.
    Вычислить интеграл
    [​IMG]
    по ломаной OABC: [​IMG].

    Интеграл распадается на три части: по отрезкам OA, AB, BC. Последовательно вычисляем каждый из них и складываем результаты.
    На отрезке OA ордината и аппликата не меняются и равны нулю, абсцисса меняется в пределах от нуля до [​IMG], поэтому
    [​IMG].
    На отрезке AB постоянны абсцисса и аппликата, причём аппликата нулевая, ордината меняется в пределах от нуля до [​IMG]:
    [​IMG].
    Наконец, на отрезке BC постоянны абсцисса и ордината, а аппликата меняется в пределах от нуля до [​IMG]:
    [​IMG].

    Пример 2. Интеграл вдоль прямой в пространстве.
    Вычислить интеграл
    [​IMG]
    по отрезку прямой, проходящей через точки [​IMG] и [​IMG].

    Прямая в пространстве может быть задана параметрически:
    [​IMG]
    Отрезку AB соответствуют пределы интегрирования от нуля до единицы. Подставляем выражения для переменных в интеграл:
    [​IMG]
    [​IMG]

    Пример 3. Интеграл вдоль заданной явным уравнением кривой на плоскости.
    Вычислить интеграл
    [​IMG]
    по дуге параболы [​IMG] от точки [​IMG] до точки [​IMG].

    Кривая, вдоль которой проводится интегрирование, задана явно, поэтому нужно только подставить вместо переменной [​IMG] в интеграле правую
    часть уравнения параболы:
    [​IMG]
    [​IMG]

    Пример 4. Интеграл вдоль параметрически заданной кривой.
    Вычислить интеграл
    [​IMG]
    вдоль винтовой линии [​IMG] от точки пересечения линии с плоскостью [​IMG] до точки
    пересечения линии с плоскостью [​IMG].

    Кривая, вдоль которой проводится интегрирование, задана параметрически. Нужно только подставить выражения для переменных через параметр в интеграл
    и проинтегрировать по параметру в пределах от нуля до [​IMG]:
    [​IMG]

    Пример 5. Восстановление функции по её полному дифференциалу.
    Зная полный дифференциал функции
    [​IMG]
    восстановить функцию [​IMG].

    Вопрос о восстановлении функции по её полному дифференциалу тесно связан с независимостью криволинейного интеграла от формы пути. Причина в критерии
    независимости интеграла от пути - см. п.3. Итак, криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы контура интегрирования. Нужно только
    выбрать начальную и конечную точку контура. За начальную точку примем точку с координатами [​IMG], а за конечную - точку с координатами
    [​IMG] - это будут аргументы восстановленной функции.

    [​IMG]
    Теперь о выборе формы контура. Так как от неё ничего не зависит, то она должна быть максимально удобной. Проще всего интегрировать вдоль отрезка
    прямой, параллельной оси координат: в этом случае две координаты фиксированы, а меняется только третья. Поэтому выберем контур, состоящий из трёх частей.
    На первом отрезке интегрируем вдоль оси абсцисс от точки [​IMG] до точки [​IMG]; на втором отрезке интегрируем вдоль оси ординат
    от точки [​IMG] до точки [​IMG]; наконец, на третьем отрезке интегрируем вдоль оси аппликат от точки [​IMG] до точки [​IMG] (см. рис. 3).
    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    Полученные выражения нужно сложить. Несложно видеть, что все слагаемые, содержащие одновременно координаты начальной и конечной точек, взаимно
    уничтожаются. Остаётся
    [​IMG].
    Если считать координаты [​IMG] постоянными, а координаты [​IMG] переменными (текущими), то последние четыре слагаемые
    являются константами. А функция по дифференциалу восстанавливается только с точностью до константы. Поэтому ответ в задаче
    [​IMG].

    Пример 6. Применение формулы Грина к вычислению площадей плоских фигур.
    Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой [​IMG].

    [​IMG]
    Воспользуемся формулой для площади фигуры, следующей из формулы Грина. Для этого нужно параметрическое уравнение астроиды.
    [​IMG]
    Астроида изображена на рис. 4. Это симметричная относительно начала координат кривая. Поэтому достаточно найти площадь четверти ограниченной
    ей фигуры, расположенной в первой четверти, что соответствует изменению параметра от нуля до [​IMG].
    [​IMG]
    [​IMG]

    Пример 7. Интеграл вдоль кривой на плоскости, заданной в полярных кординатах.
    Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой [​IMG].

    [​IMG]
    Снова воспользуемся для нахождения площади следствием формулы Грина. Так как граница фигуры задана в полярных координатах, то в интеграле следует
    полагать [​IMG], где вместо переменной [​IMG] нужно подставлять правую часть уравнения кардиоиды. Удобно предварительно
    вычислить дифференциалы:
    [​IMG]
    [​IMG]
    Теперь можно выполнять подстановку в интеграл и вычислять его:
    [​IMG]
Модераторы: onyx

Поделиться этой страницей